ADsP 조건부확률
"P(A|B)... 이게 그냥 A와 B가 동시에 일어날 확률 아닌가요?"
ADsP 통계 파트에서 평균·중앙값 다음으로 많이 걸리는 지점이 조건부확률입니다. 기호도 낯설고, 교집합 확률과 헷갈리기 쉽습니다. 그런데 원리는 하나입니다. 분모가 바뀐다는 것입니다.
1. 조건부확률은 "전체"가 아니라 "조건 안에서" 다시 센다
일반 확률은 전체 학생 중에서 특정 조건을 가진 학생 수를 셉니다. 조건부확률은 다릅니다. 분모 자체가 조건에 해당하는 사람들로 줄어듭니다.
전체 학생 20명 중 안경 쓴 학생이 8명이면, 그냥 확률은 P(안경) = 8/20입니다. 그런데 "여학생 중에서 안경 쓴 비율"을 물으면 이야기가 달라집니다. 전체 20명이 아니라 여학생 10명만 놓고 그 안에서 안경 쓴 3명을 세는 겁니다. P(안경|여학생) = 3/10이 되는 거죠.
이 공식이 헷갈릴 때는 "분모가 전체(P(전체)=1)가 아니라 조건 B로 바뀐 것뿐"이라고 생각하면 됩니다. 분자는 여전히 A와 B가 동시에 일어나는 경우이고, 분모만 '조건 B가 일어난 경우의 수'로 좁혀지는 것입니다.
2. 독립사건인지 확인하는 방법은 딱 하나, 곱해보는 것
조건부확률 다음으로 자주 나오는 게 "이 두 사건은 독립인가, 종속인가"를 묻는 문제입니다. 이걸 판단하는 방법은 외울 필요 없이 공식 하나로 검증하면 됩니다.
두 사건 A, B가 독립이라면 P(A∩B) = P(A) × P(B)가 성립해야 합니다. 이 등식이 실제로 맞는지 계산해보고, 맞으면 독립, 틀리면 종속입니다.
시험에 자주 나오는 함정 하나를 짚습니다. "두 사건이 서로 배반(동시에 일어날 수 없음)이면 독립이다"는 문장은 틀린 보기입니다. 오히려 정반대에 가깝습니다. 배반사건은 한 사건이 일어나면 다른 사건은 절대 일어날 수 없으므로(확률이 0이 되어버리므로), 대부분 서로 영향을 주는 종속 관계입니다. 독립과 배반은 전혀 다른 개념이라는 것을 꼭 구분해야 합니다.
3. 실전 감각 점검 — 이 문제 풀리나요?
주머니에 빨간 공 3개, 파란 공 2개가 있다. 공을 하나 꺼내고 다시 넣지 않은 채 또 하나를 꺼낸다.
Q. 첫 번째와 두 번째로 꺼내는 사건은 독립일까요, 종속일까요?
답은 종속입니다. 첫 번째로 빨간 공을 꺼내고 다시 넣지 않으면, 주머니 안의 공 구성(빨강 2개, 파랑 2개)이 바뀌어 있습니다. 그래서 두 번째 공을 꺼낼 확률이 첫 번째 결과에 따라 달라집니다. 만약 "다시 넣고" 꺼냈다면 매번 같은 구성이 유지되므로 독립사건이 됩니다. 복원추출이면 독립, 비복원추출이면 대부분 종속이라는 패턴으로 기억해두면 실전에서 빠르게 판단할 수 있습니다.
이 판단이 자연스러웠다면 조건부확률과 독립사건 개념은 잡힌 겁니다. 아직 헷갈린다면, 문제를 볼 때마다 "이 조건이 분모를 바꾸는지"와 "복원인지 비복원인지"부터 확인하는 습관을 들이는 게 가장 빠릅니다.
조건부확률을 문제로 굳히고 싶다면
『빠르게 따는 ADsP』에서는 오늘 다룬 조건부확률·독립사건뿐 아니라 베이즈 정리까지 이어지는 확률 파트를 그림과 계산 문제로 함께 다룹니다. 해설은 정답의 이유뿐 아니라 나머지 보기가 왜 틀렸는지까지 '오답 노트' 방식으로 풀어냈습니다.
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공부하다 막히는 부분은 빠따 ADsP 공식 카카오톡 질문방에서 저자에게 직접 물어볼 수 있습니다.